После того, как множество векторов всех частиц построено, можно перейти к следующей задаче --- проектированию кристалла вдоль определенного направления на ортогональную плоскость. Зададим направление оси проектирования через разложение по базису кристалла
n
= q a + s b + t c,где q,s,t Î Z --- целые числа, поскольку только при этом условии проекция кристалла распадается на струны (цепочки атомов, параллельные оси проектирования), выглядящие на проекции как отдельностоящие точки.
Для любого направления отношения s/q и t/q можно сколь угодно точно приблизить рациональными числами (s/q = k1 / m1 и t/q = k2 / m2), тогда, переопределяя n' = n m1 m2 / q, получаем
n'= m1 m2 a + k1 m2 b + k2 m1 c, и все коэффициенты --- целые.
Чисто математически, если одно из чисел s/q и t/q --- рационально, а другое иррационально, проекция представляет из себя непрерывные полосы. Когда оба числа иррациональны, частицы равномерно ``замазывают'' всю плоскость.
Сначала построим тройку взаимно ортогональных векторов, включающую в себя вектор
n. Это делается с точностью до вращения вокруг оси n. Вычислим координаты вектора n=(nx , ny , nz), зная координаты векторов a, b, c : nx = q ax + s bx + t cx и другие аналогично и перепишем их в сферические координаты:|
nx = n cos f sin q |
Тогда |
cos q = nz / nsin q = d / n cos f = nx / d sin f = ny / d |
(3.1) |
где
|
n = { nx2 + ny2 + nz2 }1/2 d = { nx2 + ny2 }1/2 |
(3.2) |
Легко проверить, что вектора
|
n = |
cos f sin qsin f sin q cos q |
h = |
- sin fcos f 0 |
v = |
- cos f cos q- sin f cos q sin q |
(3.3) |
образуют ортонормированный базис и первый сонаправлен с
n, а второй и третий лежат в плоскости проектирования, причем, если считать ось z направлением ``вверх'', то h --- горизонтальная, а v --- наиболее близкая к вертикали оси. Для вычисления координат любого вектора r в плоскости hv нужно лишь спроектировать его на соответствующий базисный вектор:|
r = |
rh rv |
rh = (r, h) = ry cos f - rx sin frv = (r, v) = rz sin q - ( rx cos f + ry sin f) cos q |
(3.4) |
где r
x, ry, rz --- декартовы координаты вектора r. Таким образом, для координат струн получаем следующее выражение:|
r = k a + l b + m c + Pi |
i = { 1 ... n }, k, l, m Î Z, |
(3.4) |
где все вектора двумерные, получаются из соответствующих трехмерных по формуле (3.3). Очевидно, что набор избыточен, поскольку вектора a, b, c линейно зависимы и связаны условием
|
q a + s b +t c = 0 |
(3.5) |
Доказательство:
r = q a + s b + t c,
rh = q ah + s bh + t ch = q ( a, h ) + s ( b, h )+
t (c, h ) = ( q a + s b + t c, h ) = ( n, h ) = 0Аналогично, r
v = 0, а следовательно, r = 0.Как правило, никакая пара из векторов a, b, c уже не является минимальным набором на плоскости и базис строится из них как линейная комбинация. Аналогично могут быть пересчитаны и вектора частиц
Pi.Добавлением линейной комбинации пары базисных векторов
P
'i = k' a + l' b + Piони могут быть помещены внутрь двумерной ячейки.
Рассмотрим на примере конкретного направления [1, 2, 3] в простом, объемно-- и гранецентрированном кубических кристаллах описанную выше для общего случая процедуру проектирования кристалла на плоскость.
Зададим базисные вектора в декартовых координатах:
a
= ( 1, 0, 0)b = ( 0, 1, 0)
c = ( 0, 0, 1)
тогда координаты вектора
n = ( 1, 2, 3 ).Далее по формуле (3.1) находим:
n = {nx2 + ny2 + nz2 }1/2 = {12 + 22 + 32 }1/2 = 141/2,
d = {nx2 + ny2 }1/2 = {12 + 22 }1/2 = 51/2,
|
cos q =3 / 141/2,sin q = {5/14}1/2, |
cos f = 1 / 51/2,sin f = 2 / 51/2 |
И, подставляя полученные значения в формулу (3.3), находим
n = 1 / 141/2 (1, 2, 3)h = 1 / 51/2 ( -2, 1, 0) v = 1 / 701/2 ( - 3, - 6, 5) |
(3.6) |
Действуя преобразованием (3.4) на базисные вектора
a, b, c, получаем их двумерные проекции:a = ( -2 / 51/2, -3/ 701/2 )
b = ( 1 / 51/2, -6 / 701/2 )
c = ( 0, 5 / 701/2 ).
Построим эти векторы в плоскости, а по ним и всю проекцию кристалла.
Для этого начертим вектора в сетке с размером клетки по оси x: 1 / 51/2 и по y: 1 / 701/2 (см. рис. 3.1). Из построенных векторов нужно скомбинировать вектора минимальной длины. Один из них (в единицах этой сетки) получается так:
f = b + c = ( 1, -1 )
Рис. 3.1. Плоская проекция простой кубической решетки вдоль направления [1,2,3]
Операции с другими векторами дают либо уже имеющиеся, либо более длинные, например
a + c = ( -2, 2 ) = -2 f
Отсюда видим, что один из кратчайших векторов --- вектор f.
Второй нужно выбрать из векторов c и c + f.
Простая проверка дает:
|c|2= 5/14 < | c + f |2 =1/5 + 8/35= 6/14
Следовательно, минимальная двумерная ячейка --- построенная на векторах c и f. И проекция простой кубической решетки построена. Для построения проекции других типов кристаллов кроме проведенного выше анализа нужно рассмотреть каждую из принадлежащих ячейке частиц и добавлением минимальных векторов поместить ее внутрь двумерной ячейки.
Так, для объемно--центрированного кристалла берем вектор
1/2 ( a + b + c ) = ( -1/2, -2 )
Видим, что нужно добавить один раз вектор f и один раз вектор c. Получаем
1 / 2 ( a + b + c ) + f + c = ( 1/2, 2 )
и разносим ее по плоскости, добавляя вектора c и f.
Аналогично, для гранецентрированной решетки нужно рассмотреть 3 точки:
|
{ + f + c } |
||||
| 1 / 2 ( a + b )= ( -1/2, -4.5 ) |
-----------> |
( 1/2 , -1/2 ) = f / 2 |
|
{ + f } |
||||
| 1 / 2 ( a + c )= ( -1, 1 ) |
-----------> |
0 |
1/2 ( b + c ) = ( 1/2, -1/2 ) = f / 2
Получающиеся проекции для объемно-- и гранецентрированных кристаллов показаны на рис.
3.2.
Рис. 3.2. Плоская проекция кубических объемно- и гранецентрированной решеток вдоль направления [1,2,3]
Аналогично, но чуть более сложно, строится и трехмерная проекция кристаллической решетки. Если плоскую проекцию можно представить себе как тень, отбрасываемую на экране решеткой, помещенной в параллельный пучок лучей, то трехмерная проекция соответствует тени от решетки, помещенной в расходящийся пучок лучей от точечного излучателя, находящегося на конечном расстоянии. Частицы, расположенные близко к излучателю дадут на экране редкую сетку крупных темных пятен, а удаленные слои ---частые, но мелкие тени. Нас будут интересовать два случая:
1) проекция тонкого слоя (среза) кристалла из точки вне этого слоя;
2) проекция всего кристалла из узла решетки.
Эти две проекции дают яркую иллюстрацию двум физическим эффектам: каналированию и эффекту теней [4].
Каналирование --- это резкое увеличение длины пробега частиц в кристалле при движении вдоль основных кристаллографических осей и плоскостей. При этом частица может длительное время двигаться в канале --- пространстве между рядами атомов (струнами), избегая приближения к отдельным атомам на малые расстояния, а поэтому теряя меньшую энергию и редко сталкиваясь с частицами кристалла. Эффект теней --- это блокировка определенных направлений вылета частиц, испущенных (или рассеянных) узлом решетки. Ближайшие к излучателю атомы отбрасывают тени, приводя к гашению интенсивности излучения в направлениях основных кристаллографических осей и плоскостей. Чем больше характерное расстояние между каналирующей частицей и ближайшими атомами кристалла, тем меньше электронная плотность вдоль траектории движения частицы и тем меньше потери энергии на торможение в электронном газе. Чем меньше это расстояние, тем больше вероятность деканалирования --- сильного взаимодействия частицы с отдельным атомом решетки, приводящего к рассеянию частицы на большие углы и выходу из канала.
Рис. 3.3. а) Каналограмма (тень от тонкого среза кристалла): штрихи на экране -- тени от частиц кристалла: длинные -- от 3 слоев; короткие -- от соседних. Окружности -- просветы в основных направлениях. б) Проекция из узла решетки (протонограмма, эффект теней). Окружности -- тени от ближайших к узлу атомов}
.Для сравнения на качественном уровне условий движения частицы в различных направлениях в кристалле посмотрим трехмерную проекцию тонкого среза кристалла --- каналограмму. На рис.
3.3а показано, как получается такая проекция для слоя простой кубической решетки при проектировании вдоль ребра куба. На экране виден интересный рисунок из светлых пятен и полос, характеризующих оси и плоскости возможного каналирования частиц в кристалле.
Рис. 3.4. Трехмерное изображение кристалла --- каналограмма. Проекция тонкого среза простой кубической решетки вдоль направления [3,2,4]. Вид рабочего экрана программы (версия для MS-DOS).
При этом в центр экрана куб будет проектироваться вдоль одного из ребер, т.е. в направлении [1,0,0], а при удалении от центра куб будет виден под другими углами --- возникают направления, близкие к главному. На рисунке 3.3а для примера показано направление [2,1,0].
Если расположить экран определенного размера близко к слою кристалла, то, отодвигая центр проектирования, можно исследовать узкий конус углов, близких к выбранному направлению, почти плоскую проекцию, и, наоборот, придвигая источник, получать широкий обзор основных направлений.
Изучение тени среза кристалла (рис.
3.4) с помощью программы CRYSTAL показывает, что наиболее прозрачными для большинства кристаллов являются направления, характеризуемые малыми индексами Миллера ([1,0,0], [1,1,0], [1,1,1], [2,1,0] и т.п. и соответствующие плоскости). При движении в этих направлениях просвет между атомами кристалла сравнительно большой --- равный или чуть меньший, чем расстояние между атомами в ячейке. В других же направлениях видна частая сетка атомов кристалла, просветы в которой составляют малые доли размера ячейки. Движение в таких направлениях сходно с движением в аморфной среде. Изображения, похожие на рис. 3.4, возникают в ряде физических процессов типа рассеяния частиц на кристалле, например, протонограмма и эффект ``теней''. При рассеянии быстрой частицы на атоме кристалла окружающие атомы блокируют для рассеянной частицы определенные направления вылета, создавая тени вдоль основных кристаллографических осей.С математической точки зрения для описания этих процессов требуется построить стереометрическую проекцию кристалла из узла решетки (рис.
3.3б). Получающаяся проекция простой кубической решетки кристалла, построенная программой CRYSTAL, показана на рисунке 3.5.Явление каналирования и эффект теней, в некотором смысле, противоположны: первый приводит к повышению интенсивности выходящего излучения вдоль основных кристаллографических направлений кристалла, а второй, наоборот, к уменьшению.
Рис. 3.5.Проекция кристалла с кубической гранецентрированной решеткой из узла (протонограмма, эффект теней). Вид рабочего экрана программы (версия для Windows)
[1] А. А. Кацнельсон, ``Введение в физику твердого тела'', Изд-во Московского университета, 1984
[2] Ч. Киттель, ``Введение в физику твердого тела'', Госуд. изд-во физико-математической литературы, Москва, 1962, Глава 1.
[3] Ч. Киттель, ``Элементарная физика твердого тела'', Москва, ``Наука'', 1965, Глава 1.
[4] В. В. Балашов, ``Строение вещества'', Изд-во Московского университета, 1993
Данная работа поддержана грантом РФФИ--2000, проект 00--02--17207. Демонстрационную версию программы можно найти на Web--страничке кафедры физики атомного ядра и квантовой теории столкновений сайта НИИЯФ МГУ: http://www.sinp.msu.ru/np_chair.php3. Договориться о регистрации и условиях использования программы и получить регистрационный код можно по тел. 939--25--13 или E-mail: bibikov@monet.npi.msu.su