Рис. 2.1. Элементарные ячейки кубических решеток: а) простой; б) гранецентрированной; в) объемно--центрированной

Следует особо оговорить, какие именно частицы принадлежат ячейке, чтобы не учитывать одни и те же по нескольку раз, т.к. каждая грань является общей для двух параллелепипедов, ребро -- для четырех, а вершина -- для восьми. Поскольку грань ABCD (рис. 2.2а) переходит в A'B'C'D' при переносе на вектор AA', будем считать, что, например, грань ABCD принадлежит ячейке, а A'B'C'D' --- нет. Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что под элементарной ячейкой нужно понимать следующее:

Так, для простой решетки достаточно одной вершины, например, A. Для объемно-центрированной --- вершины A и центра ячейки O. Для гранецентрированной --- вершины A и трех центров граней P, Q, R из шести (рис.2.1). Таким образом, задав три элементарные трансляции a, b, c и необходимое количество n векторов частиц в ячейке (базис) {P_i, i=1┘n}, получаем множество векторов всех частиц кристалла r:

здесь Z --- множество целых чисел. Такие же обозначения мы будем использовать в дальнейшем и для других решеток.

Рис. 2.2. Минимальные элементарные ячейки кубических решеток: а) гранецентрированной; б) объемно--центрированной

Как несложно заметить, вся гранецентрированная решетка переходит в себя при переносе на вектора, проведенные из угла ячейки в середины граней куба. Таким образом, параллелепипед (а точнее, ромбоэдр) APR'QRQ'C'R' на рис. 2.2, построенный на этих векторах будет минимальной элементарной ячейкой решетки, содержащей всего один узел.Аналогично можно построить минимальную ячейку для объемно--центрированной решетки. Такой ячейкой может служить, например, параллелепипед, построенный на трех векторах AB, AD, AO.

Простая гексагональная решетка состоит из треугольных призм, в основании которых лежат правильные треугольники и имеет ось симметрии шестого порядка, то есть переходит в себя при поворотах на угол 60^O (рис. 2.3а). Несмотря на свою простоту, в природе такая решетка встречается редко. Гораздо же чаще встречается несколько более сложная на первый взгляд структура.

Рис. 2.3. Элементарная ячейка гексагональной и гексагональной плотноупакованной решеток

Гексагональная плотноупакованная решетка, сокращенно ГПУ, отличается от простой гексагональной тем, что в центр объема каждой второй треугольной призмы помещен дополнительный узел (рис. 2.3б). При этом весь кристалл оказывается составлен из правильных тетраэдров. Это накладывает строгое условие на соотношение между высотой призмы c и длиной ее основания a: c/a = {8/3}^1/2. Хотя решетки с другим близким к этому значением c/a часто рассматривают как слабодеформированный вариант ГПУ. Плотноупакованными называются решетки, в которых при заданном минимальном расстоянии между узлами достигается максимальная концентрация узлов в единице объема. Иногда такую упаковку называют плотной упаковкой твердых шаров.

Рис. 2.4. Плотноупакованный слой и возможные способы прилегания к нему соседних слоев (мелкие закрашенные и незакрашенные окружности)

Чтобы построить любую плотноупакованную решетку, начнем с плотноупакованного слоя (рис. 2.4а). Когда мы зафиксировали на плоскости любые два соседних узла, положение остальных узлов (проще представлять шаров) определяется однозначно. Нужно просто добавлять каждый шар так, чтобы он лежал на плоскости и касался, как минимум, двух соседних. При этом, когда вся плоскость покроется шарами, каждый шар будет касаться шести соседей. Взаимное же расположение плотноупакованных слоев определяется двузначно (рис. 2.4б).

Кристаллическая решетка алмаза несколько сложнее рассмотренных выше простой, объемно- или гранецентрированных решеток, поэтому уделим ей особое внимание.

Эта решетка должна обладать следующим свойством: каждая частица имеет 4 ближайших соседей, находящихся на равном расстоянии и угол между направлениями на любые два из них равен 120^O. Таким образом, каждая частица находится в центре правильного тетраэдра с вершинами в ее соседях.

Рис. 2.5. Структура алмаза (а) и кристалла NaCl (б)

На словах структуру алмаза можно описать так. Это гранецентрированная кубическая решетка с четырьмя дополнительными частицами (рис. 2.5а). Их положение определим следующим образом. Разобьем кубическую ячейку на восемь маленьких делением ее тремя плоскостями, параллельными граням и проходящими через центр ячейки. Из полученных восьми кубиков выберем четыре не имеющие общей грани, переходящие один в другой при отражении относительно ребер кубиков. В центр объема каждого из этих 4 ``восьмушек'' поместим по частице. Иначе эту решетку можно представить как две гранецентрированные решетки, смещенные одна относительно другой на четверть главной диагонали куба.

Некоторые вещества состоят из атомов разных типов. Это могут быть различные химические соединения и сплавы. Рассмотрим для примера кристалл обычной поваренной соли Na Cl (рис. 2.5б). Его структуру можно представить как простую кубическую решетку, в узлах которой чередуются атомы Na и Cl. Это представление более наглядно, но такая ячейка не является элементарной, поскольку при переносе ее на элементарные трансляции атомы Na переходят в атомы Cl и наоборот.

Более корректно рассматривать эту структуру как состоящую из двух кубических гранецентрированных решеток Na и Cl, смещенных на половину вектора элементарной трансляции.