Монокристалл --- это твердое тело, в котором упорядоченное расположение атомов или ионов распространяется на весь его объем.

Пространственная решетка. Идеальная бесконечная пространственная решетка, как математическое понятие --- это бесконечное множество точек (узлов), переходящее в себя при определенной группе преобразований, к которым относятся трансляции, повороты, отражения и инверсии. Обязательным свойством всех решеток является их трансляционная инвариантность, то есть решетка должна переходить в себя при сдвиге в трех независимых направлениях:

Вектора a_i = { a, b, c } не должны лежать в одной плоскости. Понятно, что любой вектор d = k a + l b + m c, являющийся суммой этих трех, умноженных на целые числа, также будет переводить решетку в себя. Обычно из всего бесконечного множества таких векторов выбирают три минимальных некомпланарных вектора.

Эти вектора a, b, c (a₁, a₂, a₃), называются периодами, или основным репером, или элементарными трансляциями. Углы между трансляциями обозначают a, b, g (a₁, a₂, a₃). Построенный на этих векторах параллелепипед будет минимальной ячейкой решетки и называется элементарной ячейкой (рис. 1.1). Параллельным переносом ее можно разнести по всему кристаллу. Поэтому для того, чтобы задать весь кристалл, достаточно указать три вектора элементарных трансляций и базис --- все частицы, принадлежащие элементарной ячейке.

Если в элементарной ячейке содержится один узел (такие ячейки называют примитивными), то координаты m, n, p являются целыми числами, а вся решетка --- решеткой Бравэ:

Cовокупность индексов узла, заключенную в двойные квадратные скобки [[mnp]], называют символом узла.

где P_i --- вектора узлов базиса.

Кристаллографическое направление --- это направление прямой, проходящей через два узла решетки. Если один из узлов, через который проведена прямая, принять за начало координат, то положение ближайшего к нему узла на прямой, выраженное через числа m, n, p, полностью характеризует положение прямой в кристалле. Координаты этого узла, приведенные к целым числам, заключают в простые квадратные скобки [mnp] и называют символом направления (ряда) в решетке, а сами индексы m, n, p --- индексами Миллера для ряда.

В кубической решетке индексами Миллера плоскости называются индексы Миллера ортогонального ей направления. Для обобщения на другие типы решеток положение плоскости в кристалле характеризуют отрезками, отсекаемыми ею на кристаллографических осях а/h, b/k, c/l, где 1/h, 1/k, 1/l --- доли периода, отсекаемые рассматриваемой плоскостью на соответствующих осях координат.

Под индексами плоскостей понимают величины, обратные длинам этих отрезков, приведенные к целым числам (и отнесенные к обратным значениям периодов решетки), то есть, индексы плоскости будут (n/h, n/k, n/l), где n подбирается так, чтобы сделать эти числа целыми с наибольшим общим делителем 1 (n --- наименьшее общее кратное). Их называют индексами Миллера плоскости и заключают в круглые скобки ((hkl) или (h₁, h₂, h₃)). Если плоскость не пересекает ось, соответствующий индекс равен 0. Плоскость с индексами (hkl) содержит все направления [m, n, p], индексы которых удовлетворяют условию

Кристаллографической зоной называют семейство плоскостей, имеющих общую прямую --- ось зоны. Если индексы оси зоны [m, n, p], то уравнение (1.5) дает условие на индексы плоскостей, входящих в кристаллографическую зону, и, наоборот, зная любые две плоскости зоны, из системы двух уравнений (1.5) можно найти индексы оси зоны.